Haldane denklemi, satürasyon ve de-satürasyon

Merhabalar, bu yazımda sizlere dalış öncesi dalış planlama uygulamalarının ve dalış sırasında dalış bilgisayarlarının dokularımızda ne kadar nitrojen biriktiğini ve ne kadar nitrojen boşaldığını nasıl hesapladıklarını anlatacağım. Bu bilgilere, eğitim ve bilgi amaçlı yazmış olduğum dalış planlaması uygulaması Dave’i yazarken haiz oldum ve Türkçe bir içeriğin Türk dalış camiası için yararlı olacağını düşünüyorum.

İçeriğe devam etmeden önce önemli bir hususa değinmekte fayda olduğunu düşünüyorum. Dalış algoritmalarında bahsi geçen doku kompartmanları vücudumuzda bulunan gerçek doku hücreleri değillerdir. Bu doku kompartmanları tamamen matematiksel bir modellemeye olanak sağlamak amacıyla, deneyler aracılığıyla istatistiksel yaklaşım sonucu oluşturulmuştur. İnsan vücudunda zibilyon adet doku hücresi bulunduğundan mütevellit, tüm bu doku hücrelerinin ne kadar nitrojen veya helyum (inert gaz) biriktirdiğini modelleyebilmek maalesef imkansıza yakındır. Bunun yanı sıra, her insanın metabolizması farklıdır. Hatta ve hatta, aynı insan için, bir takım faktörlere bağlı (yorgunluk durumu, dehidrasyon, vb.) günlük değişimler söz konusu olabilmektedir. Bu da demek oluyor ki, dalış bilgisayarınız veya dalış planlama uygulamanız bir dalış profilinin güvenli olduğunu söylese dahi dekompresyon hastalığı riski her zaman mevcuttur. Bu nedenle, dalış planlaması yaparken veya dalış esnasında her zaman daha muhafazakar bir profili takip etmek sizler açısından daha mantıklı olacaktır. Dalış planlamasında muhafazakarlığı (GF yani gradyan faktörleri) nasıl ayarlayabileceğimiz başka bir yazımın konusu olacak.

Yazımın geri kalan kısmında, bu içeriği daha sade tutabilmek amacıyla, Bühlmann ZHL-16b algoritmasında kullanılan 16 doku kompartmanından sadece ilk olanını kullanıyor olacağım. Bu doku kompartmanı için saturasyon ve de-saturasyon hesaplaması yaparken aşağıdaki sabit değerleri kullanıyor olacağız;

T_h → 5 dakika (Dokunun yarılanma zamanı.)
M₀ → 1.1696 (0 ATM’deki M değeridir ve sabit bir sayıdır.)
G → 1.7929 (Sabit bir değerdir ve her kompartman için farklıdır. Farklı derinliklerdeki M değerlerini hesaplayabilmemizi sağlayan eğim sabitidir.)

Eğer M değerleri (M-Values) hakkında daha fazla bilgi almak istiyorsanız, bu konuda yazmış olduğum içeriğe göz atabilirsiniz. Bu kadar ön bilgilendirmeden sonra içeriğimize artık başlayabiliriz.

Haldane Denklemi

Doku kompartmanları için saturasyon ve de-saturasyon hesaplamasında kullanılan bu denklem, Dekompresyon Teorisinin Tarihi adlı yazımda bahsetmiş olduğum bilim insanı John Scott Haldane tarafından ileri atılmıştır. Bu denklem sayesinde, sabit bir derinlikte belli bir süre beklememiz sonucunda ilgili doku kompartmanının ne kadar gaz ile yüklendiğini (gas uptake) veya ne kadar gaz boşalttığını (off gas) hesaplıyoruz. Buradaki sabit derinlik kısmı önemli ve bunun önemine yazımın sonunda değineceğim. Hadi şimdi, bu denklemin nasıl ortaya çıktığına geçmeden önce, denklemin kendisine ve değişkenlerine bir bakalım;

$P_{yeni} = P_{eski} + (P_{gaz} - P_{eski}) \times (1 - e^{-kt})$

Şimdi bu denklemdeki değişkenler nelerdir, bunlara bir göz atalım;

P_yeni → Bekleme sonunda, dokudaki inert gaz parsiyel basıncıdır.
P_eski → Bekleme öncesi, dokudaki inert gaz parsiyel basıncıdır.
P_gaz → Bekleme sırasında bulunan derinlikteki inert gaz parsiyel basıncıdır.
e → Mühendislik hesaplamalarında sıkça kullanılan Euler sabiti(≈2.7182).
k → Çözünme sabiti (decay constant). Her doku için farklıdır. Bunun tam olarak ne olduğuna yazının ilerleyen bölümlerinde değineceğim.
t → Dakika türünden beklenen süredir.

Bu denklemde görüldüğü üzere, dokudan dokuya değişen bir sabitimiz olan k değeri var. Bu sabiti hesaplarken aşağıdaki denklemi kullanıyoruz;

$k = ln(2) / T_h$

İlk doku kompartmanı için bu değer, yukarıdaki formül aracılığıyla hesaplanırsa;

$k = ln(2) / 5\newline k \approx 0.1386$

Şimdi, denklemimizde hiçbir bilinmeyen olmadığına göre, bir örnekle denklemin nasıl çalıştığını görelim.

Varsayalım ki bir dalgıç 0 metreden bir anda 40 metre derinliğe ışınlansın ve bu derinlikte hava soluyarak 20 dakika kalsın. Gelin, hadi bu süre sonucunda, ilk doku kompartmanındaki nitrojen parsiyel basıncını Haldane denklemi ile hesaplayalım;

P_yeni → Bulmak istedigimiz deger.
P_eski → Bekleme öncesi, dokudaki inert gaz parsiyel basıncı yani 0.79(Havada nitrojen oranı %79‘dur ve parsiyel basıncı 0.79 ATM‘dir. Yüzeyde yeterli süre beklendiğinde, dokuda bulunan gaz, ortamda bulunan gazın parsiyel basıncına eşit seviyeye yaklaşır).
P_gaz → 40 metre derinlikte ortam basıncı 5 ATM‘dir ve solunan gaz bileşenindeki(hava) nitrojen oranı 0.79‘dur. Bu nedenle, 40 metre derinlikte solunan gazdaki nitrojen parsiyel basıncı 3.95 ATM‘dir. ( $0.79 \times 5 ATM$ ).
e → ≈2.7182.
k → Az önce hesapladığımız üzere ≈0.1386.
t → 20 dakika.

Bu degerleri denklemdeki yerlerine yazarsak;

$P_{yeni} = P_{eski} + (P_{gaz} - P_{eski}) \times (1 - e^{-kt}) \newline P_{yeni} = 0.79 + (3.95 - 0.79) \times (1 - 2.7182^{-0.1386 \times 20}) \newline P_{yeni} = 0.79 + 3.16 \times (1 - 0.0625) \newline P_{yeni} = 0.79 + 3.16 \times 0.9375 \newline P_{yeni} = 0.79 + 2.9625 \newline P_{yeni} = 3.7525$

Bu demek oluyor ki, 40 metre derinlikte 20 dakika beklememiz sonucunda, ilk doku kompartmanındaki nitrojen parsiyel basıncı 3.7525 ATM seviyesine yükselir. Bu değer, bir önceki M-Values yazımda anlattığım M değeri ile kıyaslanırsa, dokunun doygunluk durumunun ne olduğunu görebiliriz. Eğer hesaplanan nitrojen parsiyel basıncı, M değerinin altında kalıyorsa, doku henüz o derinlik için maksimum doygunluğa ulaşmamış demektir. Ancak M değerine yaklaşırsa, dokunun doygun hale geldiği sonucuna varabiliriz;

$M(d) = M_0 + G \times d \newline M(5) = 1.1696 + 1.7929 \times 5 \newline M(d) = 10.1341$

Burada görüldüğü üzere, ilk doku kompartmanı, 40 metrede 20 dakika beklemenin sonucunda halen doygunluğa ulaşmamıştır ve saturasyon süreci devam etmektedir ancak bu değer, daha sığ bir ortam için olan M değerinden yüksek olabilir. Eğer bu değer, daha sığ bir ortam için hesaplanan M değerinden büyükse, dalışı bitirip yüzeye çıkabilmemiz için dekompresyon beklemesi yapmamız gerekmektedir.

Örneğin, 40 metrede 20 dakika bekledikten sonra yüzeye çıkabilir miyiz buna bir bakalım. İlk doku kompartmanı için yüzeydeki M değeri, yani dokunun tolere edebileceği maksimum inert gaz parsiyel basıncı 2.9625 ATM‘dir( $M(1) = 1.1696 + 1.7929 \times 1$ ) ve bu değer az önce ulaşmış olduğumuz 3.7525 ATM değerinden daha düşüktür. Bu demek oluyor ki, yüzeye yani 0 metreye çıktığımızda, ilk doku kompartmanında bulunan nitrojen parsiyel basıncı, o doku kompartmanının tolere edebileceği değerden yüksek olduğundan, kabarcık oluşma ve dekompresyon hastalığı riski bulunmaktadır. Bu durumda, yüzeye çıkmadan önce dekompresyon beklemesi yaparak, doku kompartmanındaki inert gaz parsiyel basıncını düşürmemiz gerekmektedir (başka bir yazımın konusu).

Buraya kadar, sabit bir derinlikte dururken, doku kompartmanlarında ne kadar gaz biriktiğini veya gaz boşaldığını gördük. Peki, dalış esnasında alçalırken veya yükselirken bu hesabı nasıl yaparız?

Haldane denkleminde görüldüğü üzere, denklem parametrelerinden bir tanesi P_gaz, solunan gaz bileşenindeki inert gaz parsiyel basıncıdır. Bu nedenle, Haldane denklemi yalnızca sabit bir derinlik için yapılan hesaplamalarda kullanılabilmektedir. Tekrar, peki ama, su içerisinde alçalırken ve yükselirken gerçekleşen saturasyon ve de-saturasyon nasıl hesaplanır?

Bu içeriği buraya kadar okumuş olan ve analitik düşünme yetisine sahip olanlar şu cevabı verebilir; “O zaman bu denklemi belirli aralıklarla yükselirken ve alçalırken hesaplayabilir ve sonucu toplayabiliriz”. Bu doğrudur ve yaklaşık olarak sonuca yakındır, ancak tam sonucu hesaplamak için Schreiner denklemi adı verilen başka bir denklemi kullanırız.

Schreiner denklemi

Bu denklem, Haldane denklemine göre bir tık daha karmaşık görünse de, aslında sadece iki adet yeni değişken içermektedir ve derinlik değiştirirken kullanılabilmesinin yanında sabit derinlikte de kullanılabilmektedir. Denkleme göz attıktan sonra, sabit derinlikte nasıl kullanıldığına bakıp bir dejavu yaşayacağız, hadi bakalım, denklem neymiş;

$P_{yeni} = P_{ilk\_gaz} + c \times (t - 1 / k) - (P_{ilk\_gaz} - P_{eski} - c / k) \times e^{-kt}$

Bu denklemdeki değişkenlerin çoğunu zaten Haldane denkleminden tanıyoruz, o nedenle, sadece yeni olan değişkenleri açıklıyorum;

P_{ilk_gaz} → Yükselmeye veya alçalmaya başladığımız andaki ortamdaki inert gaz parsiyel basıncı.
c → Gaz geçiş hızı değişim sabiti.

P_{ilk_gaz} kolay, derinlik değiştirmeye başladığımız andaki inert gazın ortamdaki parsiyel basıncı. Örneğin, 10 metreden alçalmaya başladığımızda nitrojen için hesaplama yapacaksak, %79 nitrojeni 2 ATM olan ortam basıncı ile çarparak 1.58 ATM değerine ulaşabiliriz.

c değerini hesaplarken ise biraz daha uzun bir matematiksel işlem yapmamız gerekiyor;

$c = (P_{son\_gaz} - P_{ilk\_gaz}) / t$

Bu denklemde, soluduğumuz gaz bileşenindeki inert gazın, başlangıç ve bitiş derinliklerindeki parsiyel basınç farkını, arada geçen zamana bölüyoruz. Örneğin, 0 metreden 50 metreye 10 dakikada alçalacak olursak, bu değişim sabiti şöyle hesaplanır;

0 metredeki nitrojen parsiyel basıncı 0.79 ATM.
50 metredeki nitrojen parsiyel basıncı 4.74 ATM (Ortam basıncı olan 6 ATM ile inert gaz oranı 79% çarpıldığında elde edilen değer).
Geçen süre 10 dakika.

$c = (P_{son\_gaz} - P_{ilk\_gaz}) / t \newline c = (4.74 - 0.79) / 10 \newline c = 0.395$

Şimdi tüm değişkenleri tanıdığımıza göre, 0 metreden 50 metreye 10 dakikada alçalırken ilk doku kompartmanımızda ne kadar nitrojen birikir bunu birlikte bulalım;

$P_{yeni} = P_{ilk\_gaz} + c \times (t - 1 / k) - (P_{ilk\_gaz} - P_{eski} - c / k) \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = 0.79 + 0.395 \times (10 - 1 / 0.1386) - (0.79 - 0.79 - 0.395 / 0.1386) \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = 0.79 + 0.395 \times 2.7849 + 2.8499 \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = 0.79 + 1.1 + 2.8499 \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = 1.89 + 2.8499 \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = 1.89 + 2.8499 \times 2.7182^{-0.1386 \times 10} \newline P_{yeni} = 1.89 + 2.8499 \times 2.7182^{-1.386} \newline P_{yeni} = 1.89 + 2.8499 \times 0.25 \newline P_{yeni} = 1.89 + 0.7142 \newline P_{yeni} = 2.6042\,ATM$

Bu işlemin sonucuna göre, 0 metreden 50 metreye 10 dakikada alçalmamız durumunda, ilk doku kompartmanında biriken azot miktarının 2.6042 ATM olduğunu görüyoruz. Tüm alçalma ve yükselme durumlarında Schreiner denklemini, sabit durduğumuz durumlarda ise Haldane denklemini kullanırsak, dalış süresi boyunca dokularımızda ne kadar inert gaz biriktiğini bulabilir ve buna göre dekompresyon duraklarını hesaplayabiliriz. İşte dalış bilgisayarları ve dalış planlama yazılımları, bu denklemleri kullanarak vücutta biriken azot miktarını tahmin etmeye çalışıyorlar ve ona göre dekompreson bilgisi sunuyorlar.

Bu içerik hâlihazırda yeterince uzun olduğu için, deko tavanının yani yukselebileceğimiz maksimum derinliğin nasıl hesaplandığına bir sonraki yazımda değineceğim.

Schreiner denklemine ilk başta değinirken, sabit derinlikte de kullanılabileceğinden bahsetmiştim, hadi gelin, bunun nasıl mümkün olduğuna bakalım.

Denklemi tekrar hatirlayacak olursak;

$P_{yeni} = P_{ilk\_gaz} + c \times (t - 1 / k) - (P_{ilk\_gaz} - P_{eski} - c / k) \times e^{-kt}$

Buradaki C değeri, sabit bir derinlikte şu şekilde hesaplanır;

$c = (P_{son\_gaz} - P_{ilk\_gaz}) / t$

Suda sabit bir derinlikte durduğumuzda, P_{son_gaz} ve P_{ilk_gaz} aynı olacağından, c değeri 0 olur ve bu değeri Schreiner denkleminde yerine koyarsak;

$P_{yeni} = P_{ilk\_gaz} + c \times (t - 1 / k) - (P_{ilk\_gaz} - P_{eski} - c / k) \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = P_{ilk\_gaz} + 0 \times (t - 1 / k) - (P_{ilk\_gaz} - P_{eski} - 0 / k) \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = P_{ilk\_gaz} - (P_{ilk\_gaz} - P_{eski}) \times e^{-kt}$

P_{ilk_gaz} yerine kısaca P_gaz yazabiliriz, çünki ilk ve son derinlikler aynı;

$P_{yeni} = P_{gaz} - (P_{gaz} - P_{eski}) \times e^{-kt}$

Simdi asagidaki adimlari izleyerek denklemi donusturursek;

$P_{yeni} = P_{gaz} - (P_{gaz} - P_{eski}) \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = P_{gaz} - P_{gaz} \times e^{-kt} + P_{eski} \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = P_{gaz} \times (1 - e^{-kt}) + P_{eski} \times e^{-kt} \newline P_{yeni} = P_{gaz} \times (1 - e^{-kt}) + P_{eski} - P_{eski} \times (1 - e^{-kt})$

Son olarak, bu denklemi sadeleştirmek için bir kısmını ortak çarpan olan $1 - e^{-kt}$ ifadesi ile düzenlersek;

$P_{yeni} = P_{eski} + (P_{gaz} - P_{eski}) \times (1 - e^{-kt})$

Tadaaa, işte size Haldane denklemi! Burada görüldüğü üzere, Schreiner denklemi aslında tek başına hem sabit bir derinlikte hem de derinlik değiştirirken, saturasyon ve de-saturasyon hesaplamasında kullanılabilir.

Bu denklemlerin bir yazılım dilinde nasıl ifade edildiğini görmek isterseniz, Dave uygulamasının kaynak kodunun ilgili kısmına bakabilirsiniz.

Bu içeriği buraya kadar pes etmeden okuduysanız, size helal olsun. Bir sonraki yazımda, deko tavanının nasıl hesaplandığını açıklıyor olacağım.

İçeriğin bundan sonraki kısmı, Haldane denkleminin nereden geldiğini ve bir tık daha sadeleştirilmiş formunun nasıl hesaplandığını merak edenler içindir. Eğer matematik formülleriyle uğraşmayı sevmiyorsanız, buradan sonrasını okumayabilirsiniz.

Umarım bu içeriği okurken keyif almışsınızdır. Bir sonraki yazımda görüşmek üzere, herkese güvenli ve keyifli dalışlar.

Sadeleştirilmiş Haldane denklemi

Yazımın başında göstermiş olduğum Haldane denklemi, aslında hesaplamayı kolaylaştırabilmek için bir tık sadeleştirilebilir. Burada yapacağım sadeleştirme işlemini, lise matematiğini halen hatırlayan tüm okurlar rahatlıkla anlayabileceklerdir. Gelin, denkleme tekrar bir göz atalım;

$P_{yeni} = P_{eski} + (P_{gaz} - P_{eski}) \times (1 - e^{-kt})$

Bu denklemi açıklarken, k değerinin şu şekilde hesaplandığından bahsetmiştim;

$k = ln(2) / T_h$

Şimdi bu değeri hesaplamak yerine, değerin hesaplandığı denklemi direk yerine koyalım;

$P_{yeni} = P_{eski} + (P_{gaz} - P_{eski}) \times (1 - e^{-ln(2)t/T_h})$

Denklemin şu kısmına dikkatinizi çekmek istiyorum;

$(1 - e^{-ln(2)t/T_h})$

Biliyoruzki $e^{ln(a)}$ , $a$ ya eşittir. Bu durumda denklemin bu kısmı şöyle olacaktır;

$(1 - 2^{-t/T_h})$

Ve denklemin tamamıda şöyle olacaktır;

$P_{yeni} = P_{eski} + (P_{gaz} - P_{eski}) \times (1 - 2^{-t/T_h})$

İşte bu denklem, Dr. Albert A. Bühlmann tarafından yazılmış olan Tauchmedizin isimli kitapta aynen bu şekilde yer almaktadır.

Eksponansiyel çürüme denklemi

Eksponansiyel çürüme (exponential decay) denklemi, bir cismin bir ortamda nasıl çürüyeceğini modelleyen bir denklemdir. Bu denklem, aynı zamanda bir gazın bir ortamdan başka bir ortama veya bir dokudan başka bir dokuya ne hızla geçeceğinin hesaplanmasında da kullanılır. Denklem şunu öngörmüştür; Bir gaz, bir ortamdan başka bir ortama geçerken, geçiş hızı eksponansiyel olarak azalır. Bunu bir örnekle açıklayalım;

Elimizde iki adet ortam var, A ve B. A ortamının içinde 100 birim gaz var ve B ortamında o gazdan eser yok. Bu gazın A’dan B’ye bir geçiş yarı zamanının T_h olduğunu varsayalım. Bu 2 ortamı bir boru aracılığıyla birbirine bağlarsak, A ortamından B ortamına gaz geçişi olacaktır ve bu gaz geçişi şu şekilde olacaktır;

Zaman	A ortamındaki gaz miktarı	B ortamındaki gaz miktarı
0	100	0
T_h	75	25
2T_h	67.5	32.5
3T_h	60	40
4T_h	55	45
5T_h	52.5	47.5
6T_h	51.25	48.75
7T_h	50.625	49.095

Yukarıdaki tabloda görüldüğü üzere, iki ortam arasındaki gaz miktarı hiçbir zaman eşit olamayacaktır ve bu, gerçek hayatta da bu şekilde işlemektedir. İşte bu modele dayanan aşağıdaki diferansiyel denkleme eksponansiyel çürüme denklemi adı verilmektedir ve birçok alanda olduğu gibi dokular arasındaki gaz alışverişinin hesaplanmasında da önemli bir rol almaktadır;

$\frac{dP}{dt} = -k \times (P_{ortam} - P)$

Bu diferansiyel denklem, bir dokudaki basınç değişim oranının zamanla nasıl değiştiğini formalize etmektedir. Yani, bir doku kompartmanındaki inert gaz parsiyel basıncının zamanla nasıl değiştiğini matematiksel olarak tanımlar. Buradaki $P$ değeri dokudaki gaz parsiyel basıncıni, $k$ değeri ise her doku kompartmanı için farklı olan bir sabiti simgelemektedir(bunu zaten yukarıda görmüştük). Gelin şimdi bu diferansiyel denklemi çözelim;

$\frac{dP}{dt} = -k \times (P_{ortam} - P) \newline \newline \frac{dP}{P_{ortam} - P} = -k dt$

Eğer iki tarafın integralini alırsak;

$\int \frac{1}{P_{ortam} - P} dP = \int -k \>dt \newline \newline ln(P_{ortam} - P) = - k \times t + C \newline \newline P_{ortam} - P = e^{-k \times t + C} \newline \newline P_{ortam} - P = e^{C} \times e^{-k \times t} \newline \newline P = P_{ortam} - e^{C} \times e^{-k \times t}$

Buraya kadar çözmüş olduğumuz denklemde bulunan $e^{C}$ değerine $A$ dersek;

$P = P_{ortam} - A \times e^{-k \times t}$

Ve $t = 0$ durumunda yukardaki denklemde $A$ değerini bulursak(burada P yerine P_eski diyoruz çünki 0 anında doku ilk halinde);

$P_{eski} = P_{ortam} - A \times e^{-k \times 0} \newline \newline P_{eski} = P_{ortam} - A \times e^{0} \newline \newline P_{eski} = P_{ortam} - A \newline \newline A = P_{ortam} - P_{eski}$

Artık $A$ değerini bulduğumuza göre, bu değeri bir önceki denklemde yerine yazarsak;

$P_{yeni} = P_{ortam} - A \times e^{-k \times t} \newline \newline P_{yeni} = P_{ortam} - (P_{ortam} - P_{eski}) \times e^{-kt}$

Görüldüğü üzere, Haldane denklemine ulaşırız.

Haldane denklemi, satürasyon ve de-satürasyon

Haldane Denklemi

Schreiner denklemi

Sadeleştirilmiş Haldane denklemi

Eksponansiyel çürüme denklemi

Bunu paylaş:

DIve In Turkey sitesinden daha fazla şey keşfedin